Механика. 10 класс

§1. Движение

Путь и перемещение

Механическое движение — изменение положения тела относительно других тел со временем. Без системы отсчёта фраза «покоятся» пустая.

Тело проехало четверть окружности радиуса R. Что больше?

Путь: дуга $\pi R/2$. Модуль перемещения: хорда $R\sqrt{2}$. Путь больше.

Оба равны R.

Перемещение равно дуге $\pi R/2$.

Путь — длина нитки по дуге. Перемещение — прямая из старта в финиш.

$|\vec{s}| \le s$

Траектория — линия движения тела. Путь s — длина этой линии, $s \ge 0$, не уменьшается. Перемещение $\vec{s}$ — вектор из начальной точки в конечную. Его модуль $|\vec{s}| \le s$.

Алгоритм: Путь или перемещение? 1. Нарисуй старт и финиш. 2. Путь — сколько метров отмотал спидометр / нитка по траектории. 3. Перемещение — прямая стрелка старт → финиш. Модуль — линейка по этой стрелке. 4. Туда-обратно: путь ненулевой, перемещение ноль.

Рис. 1. Четверть окружности: путь — дуга, перемещение — хорда.

Величина | Формула | СИ | Когда можно писать

Средняя путевая $v_{ср} = s / t$ | м/с | всегда; не вектор

Средняя векторная $\vec{v}_{ср} = \vec{s} / t$ | м/с | при развороте модуль << $v_{ср}$

Мгновенная скорость в модуле A — наклон касательной к графику $x(t)$. Касательную проводишь линейкой. Число с графика считываешь, формулой вроде $v = 2t$ в A не пользуешься.

Рис. 2. График $x(t)$: оси с единицами, точка отмечена. Касательная в этой точке — мгновенная скорость.

Сложение скоростей: $\vec{v}$ относительно берега = $\vec{v}$ относительно воды + $\vec{u}$ течения. Складываются векторы, не модули. Максимум $3+2=5$, минимум $|3-2|=1$. Шести не бывает.

Тело объехало четверть окружности радиуса R. Путь? Модуль перемещения?

30 км за 0,5 ч на восток и 40 км за 0,5 ч на север. Средняя путевая и модуль средней векторной, в м/с.

Верно ли: модуль скорости постоянен ⇒ ускорение равно нулю?

Катер 3 м/с относительно воды, течение 2 м/с. Может ли скорость относительно берега быть 1, 5, 6 м/с?

Когда можно писать

Величина | Формула | СИ | Когда можно писать

Средняя путевая $v_{ср} = s / t$ | м/с | всегда; не вектор

Средняя векторная $\vec{v}_{ср} = \vec{s} / t$ | м/с | при развороте модуль << $v_{ср}$

Мгновенная скорость в модуле A — наклон касательной к графику $x(t)$. Касательную проводишь линейкой. Число с графика считываешь, формулой вроде $v = 2t$ в A не пользуешься.

Рис. 2. График $x(t)$: оси с единицами, точка отмечена. Касательная в этой точке — мгновенная скорость.

Сложение скоростей: $\vec{v}$ относительно берега = $\vec{v}$ относительно воды + $\vec{u}$ течения. Складываются векторы, не модули. Максимум $3+2=5$, минимум $|3-2|=1$. Шести не бывает.

Алгоритм

Запомни

Путь $s$ — длина траектории ($s \ge 0$). Перемещение $\vec{s}$ — вектор из начала в конец ($|\vec{s}| \le s$).

Типичная ошибка

Типичная ошибка: Путь и перемещение путают на кривой. 100 м туда и 100 м обратно: путь 200 м, перемещение 0. Средняя путевая скорость не ноль. Средняя векторная — ноль.

Пример

Рис. 1. Четверть окружности: путь — дуга, перемещение — хорда.

Интерактив

Рис. 3. Треугольник скоростей.

Checkpoint A-1

Открой, только когда прочитал §1. На сайте §2 закрыт, пока здесь меньше трёх верных. Ответы — в конце задачника, коды A-1.1 … A-1.4.

Модуль B. Производная как скорость

Это не новая физика. Это новый язык для той же физики. Ты уже умеешь находить скорость, сжимая интервал и читая наклон касательной. Теперь дадим этому действию имя — производная — и научимся делать это одной строкой. Рабочая формула модуля B: $(t^n)' = n t^{n-1}$. $\sin, \cos, e^x$ и произведение — в справке в конце. Откроешь на задачах 13*** и 15***.

B.1. Та же операция, что в примере

Путь $s(t) = t^2$. Средняя скорость на куске $[t, t+\Delta t]$: rac{s(t+\Delta t) - s(t)}{\Delta t} = rac{(t+\Delta t)^2 - t^2}{\Delta t} = rac{2t \Delta t + \Delta t^2}{\Delta t} = 2t + \Delta t. Жмём $\Delta t \to 0$. Добавка $\Delta t$ исчезает. Остаётся $v(t) = 2t$. При $t = 3$ с это $6$ м/с. Руками то же самое: после $t = 3$ с интервал 1 с даёт $7$ м/с, $0,1$ с → $6,1$, $0,01$ с → $6,01$. Число садится на $2t$. В модуле A этой формулы нет — там только линейка на графике.

Определение. $f'(x) = \lim_{\Delta x\to 0} \frac{f(x+\Delta x) - f(x)}{\Delta x}$. В механике аргумент — время. $v_x = dx/dt = \dot{x}$. $a_x = dv_x/dt = \ddot{x}$.

Критерий открытия C: эту производную берёшь без подсказки и понимаешь, что $\dot{x}$ — это скорость, не «просто штрих».

B.3. Обратно: от скорости к координате

Если $\dot{x} = v_x(t)$ и $a_x = const$, получаются школьные формулы: $v_x = v_{0x} + a_x t$, $x = x_0 + v_{0x} t + a_x t^2/2$. Это не новый закон — тот же A, прочитанный с конца. Путь при развороте: $s = \int |v| dt$. Без модуля отрицательная проекция «съест» путь. Это главная причина, зачем модуль в интеграле.

Справка B — не для первого чтения ($(\sin x)' = \cos x$, $(\cos x)' = -\sin x$, $x$ в радианах). $(e^{kx})' = k e^{kx}$. Произведение: $(uv)' = u'v + uv'$. Цепочка: $[u(v)]' = u'(v) \cdot v'$. Открой эту справку в задачах 13*** и 15***, не раньше.

§2. Прямолинейное движение — теория [A]

Рис. 4. Путь = площадь под $|v|(t)$, не под «голой» координатой.

Бросок: $a_x = 0$ и $a_y = -g$ только без сопротивления, вблизи Земли, в ИСО. Ось выбери и напиши $g_y$ явно. Горизонтальный бросок, $y$ вверх: $x = v_0 t$, $y = h - g t^2/2$. Время падения $\sqrt{2h/g}$, дальность $v_0 \sqrt{2h/g}$. С земли под углом $\alpha$: полёт $2 v_0 \sin\alpha / g$, высота $(v_0 \sin\alpha)^2/(2g)$, дальность $v_0^2 \sin 2\alpha / g$. Пик L при $45^\circ$. У $30^\circ$ и $60^\circ$ одна L.

Рис. 5. $a_x = 0$, $a_y = -g$. Рис. 5a. Равные $\Delta t$ при падении — промежутки растут.