AI 创建人工改进
Riqli · 活文档 · 持续更新
AI知识与人类实践的结合。
与朋友分享
Физика: Полный курс для школьников и студентов. Hard skill. (Школьная физика. Вузовская. Физика. Полный. Tutorial. Practice.)
Механика. 10 класс
§1. Движение --- теория [A]
1.1. Три величины
Механическое движение --- изменение положения тела относительно других тел со временем. «Покоится» без системы отсчёта --- пустая фраза. Перед задачей ответь: относительно чего считаешь скорость. Два тела --- две СО на рисунке.
Материальная точка --- размеры в этой задаче не важны. Обод колеса точкой не считают, если сравнивают его скорость с центром.
Траектория --- линия. Путь s --- длина этой линии, s ≥ 0, не уменьшается. Перемещение s→ --- вектор из старта в финиш. |s→| ≤ s.
Алгоритм. Путь или перемещение?
- Нарисуй старт и финиш.
- Путь --- сколько метров отмотал спидометр / нитка по траектории.
- Перемещение --- прямая стрелка старт → финиш. Модуль --- линейка по этой стрелке.
- Туда-обратно: путь ненулевой, перемещение ноль.
Типичная ошибка
Путь и перемещение путают на кривой. 100 м туда и 100 м обратно: путь 200 м, перемещение 0. Средняя путевая скорость не ноль. Средняя векторная --- ноль.
Рис. 1. Четверть окружности: путь --- дуга, перемещение --- хорда.
1.2. Скорость без производной
Величина, формула, СИ и когда можно писать
| Величина | Формула | СИ | Когда можно писать |
|---|---|---|---|
| Средняя путевая | м/с | всегда; не вектор | |
| Средняя векторная | м/с | при развороте модуль << vср | |
| Мгновенная в модуле A | наклон касательной к x(t) | м/с | линейка по графику; формулу не пишем |
| Среднее ускорение | м/с² | без стрелок --- только прямая |
Спидометр показывает модуль мгновенной скорости. Это не s/t за весь путь.
Модуль A: число из формулы не считаем
На базовом экзамене производная не нужна. Мгновенная скорость в модуле A --- наклон касательной к графику x(t). Касательную проводишь линейкой. Число с графика считываешь, формулой вроде v = 2t в A не пользуешься.
Путь на куске = площадь под графиком |v|(t). Этого достаточно, чтобы закрыть A.
Как получить то же число одной строкой из s(t) --- модуль B. В A этой строки нет.
Рис. 2. График x(t): оси с единицами, точка отмечена. Касательная в этой точке --- мгновенная скорость. Наклон считываешь линейкой, формулу v(t) в A не пишешь.
1.3. Сложение скоростей
v→ относительно берега = v→ относительно воды + u→ течения.
Складываются векторы, не модули. Максимум 3+2 = 5, минимум |3−2| = 1. Шести не бывает. Закон ломается около скорости света --- глава 5.
Рис. 3. Треугольник скоростей.
Checkpoint A-1
Открой, только когда прочитал §1. На сайте §2 закрыт, пока здесь меньше трёх верных. Ответы --- в конце задачника, коды A-1.1 ... A-1.4.
- A-1.1 Тело объехало четверть окружности радиуса R. Путь? Модуль перемещения?
- A-1.2 30 км за 0,5 ч на восток и 40 км за 0,5 ч на север. Средняя путевая и модуль средней векторной, в м/с.
- A-1.3 Верно ли: модуль скорости постоянен ⇒ ускорение равно нулю?
- A-1.4 Катер 3 м/с относительно воды, течение 2 м/с. Может ли скорость относительно берега быть 1, 5, 6 м/с?
Модуль B. Производная как скорость
Это не новая физика. Это новый язык для той же физики.
Ты уже умеешь находить скорость, сжимая интервал и читая наклон касательной. Теперь дадим этому действию имя --- производная --- и научимся делать это одной строкой.
Рабочая формула модуля B: (tⁿ)′ = n tⁿ⁻¹. sin, cos, eˣ и произведение --- в справке в конце. Откроешь на задачах 13*** и 15***.
B.1. Та же операция, что в примере
Путь s(t) = t². Средняя скорость на куске [t, t+Δt]:
[s(t+Δt) − s(t)] / Δt = [(t+Δt)² − t²] / Δt = (2t Δt + Δt²) / Δt = 2t + Δt.
Жмём Δt → 0. Добавка Δt исчезает. Остаётся v(t) = 2t. При t = 3 с это 6 м/с.
Руками то же самое: после t = 3 с интервал 1 с даёт 7 м/с, 0,1 с → 6,1, 0,01 с → 6,01. Число садится на 2t. В модуле A этой формулы нет --- там только линейка на графике.
Определение. f′(x) = lim (Δx→0) [f(x+Δx) − f(x)] / Δx.
В механике аргумент --- время. v_x = dx/dt = ẋ. a_x = dv_x/dt = ẍ.
B.2. Что выучить в 10 классе
Таблица производных
| Что видишь | Пишешь | Смысл в механике |
|---|---|---|
| число, не зависит от t | производная 0 | координата не меняется → v = 0 |
| c · u(t) | c · u′ | 5t² → скорость 10t |
| u + w | u′ + w′ | складывай скорости кусков |
| tⁿ | n tⁿ⁻¹ | t² → 2t; t³ → 3t² |
ПРИМЕР B
x = 1 + 12t − 3t². Скорость: ẋ = 12 − 6t. Ускорение: ẍ = −6.
Проверка единиц: 12 --- м/с, 6t --- (м/с²)·с = м/с. Если в ẋ вылезли метры --- ошибка уже есть.
Критерий открытия C: эту производную берёшь без подсказки и понимаешь, что ẋ --- это скорость, не «просто штрих».
B.3. Обратно: от скорости к координате
Если ẋ = v_x(t) и a_x = const, получаются школьные формулы: v_x = v0x + a_x t, x = x0 + v0x t + a_x t²/2. Это не новый закон --- тот же A, прочитанный с конца.
Путь при развороте: s = ∫ |v| dt. Без модуля отрицательная проекция «съест» путь. Это главная причина, зачем модуль в интеграле.
Справка B --- не для первого чтения
(sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x, x в радианах. (eᵏˣ)′ = k eᵏˣ. Произведение: (uv)′ = u′v + uv′. Цепочка: [u(v)]′ = u′(v)·v′.
Открой эту справку в задачах 13*** и 15***, не раньше.
§2. Прямолинейное движение --- теория [A]
2.1--2.2. Равномерное и равноускоренное
Скорость постоянна → x = x0 + v_x t, a = 0.
Ускорение постоянно на оси:
Таблица формул равноускоренного движения
| Величина | Формула | СИ | Когда можно писать |
|---|---|---|---|
| Скорость | м/с | a_x = const на всём куске | |
| Координата | м | та же ось, те же знаки | |
| Без времени | м²/с² | a не менялось | |
| Путь при развороте | м | режь в точке v = 0 |
Рис. 4. Путь = площадь под |v|(t), не под «голой» координатой.
Когда формула запрещена
s = v0 t + a t²/2 без индексов --- если был разворот. Это Δx, не путь.
v = s/t рядом с a ≠ 0 --- путевая средняя ≠ мгновенная.
a = g, если сопротивление не выключили явно.
Бросок: a_x = 0 и a_y = −g только без сопротивления, вблизи Земли, в ИСО.
2.3. Падение и броски
Модель: a→ = g→ вниз, сопротивление выкл. Ось выбери и напиши g_y явно.
Горизонтальный бросок, y вверх: x = v0 t, y = h − g t²/2. Время падения √(2h/g), дальность v0√(2h/g).
С земли под углом α: полёт 2 v0 sinα / g, высота (v0 sinα)²/(2g), дальность v0² sin2α / g. Пик L при 45°. У 30° и 60° одна L.
Рис. 5. a_x = 0, a_y = −g. Рис. 5a. Равные Δt при падении --- промежутки растут.
Типичная ошибка
В верхней точке скорость ноль. Нет: ноль только v_y.
В верхней точке a = 0. Нет: a = g весь полёт.
Больше угол --- больше дальность. Нет.